Information - Algebraische Flächen

Die Bilder und Animationen wurden am Institut für Mathematik der Universität Innsbruck im Rahmen der laufenden Forschungen über Singularitäten in der Arbeitsgruppe von Herwig Hauser hergestellt. Sie stellen algebraische Flächen dar. Algebraische Flächen sind definiert als die Lösungsmenge von polynomialen Gleichungen in drei Variablen x, y, z. Das sind also Gebilde im dreidimensionalen euklidischen Raum ℝ3, die eine flächige, im Raum gewölbte Ausdehnung haben. Bekannteste Beispiele sind die Sphäre mit Gleichung x2 + y2 + z2 = 1 oder die Sattelfläche mit Gleichung z - xy = 0. Die Gleichungen können aber viel komplizierter sein. So etwa beschreibt y2 + z3 - z4 - x2z2 = 0 das offene Herz. Im allgemeinen ist es sehr schwierig, aus der Gleichung die zugehörige Fläche zu bestimmen und ihre geometrischen Eigenschaften zu beschreiben. Seit einiger Zeit gibt es Computerprogramme, die dies für den Mathematiker mit hoher Genauigkeit erledigen. Die abgebildeten Figuren wurden mit dem Visualisierungs Programm POV-Ray erzeugt. Farbe, Position, Blickwinkel, Reflexe und Spiegelungen können vom Benutzer frei gewählt werden. Ein harmonisches Zusammenspiel aller dieser Komponenten ohne Informationsverlust zu erreichen ist fallweise sehr aufwendig. Die meisten der algebraischen Flächen weisen besondere Punkte oder Kurven auf, an denen sie nicht glatt sind wie ein Babypopo sondern scharf und kantig wie die Schneide eines Taschenfeitels oder die Spitze einer Pipette. Diese einzigartigen Punkte nennt man Singularitäten. Gerade dort ist die Geometrie der Flächen besonders spannend und aufschlussreich. Die Mathematiker der Gruppe um Hauser versuchen, die Struktur der Singularitäten zu durchleuchten und Gesetzmässigkeiten festzustellen, um im Gegenzug Aufschlüsse über die Geometrie zu erhalten. Nachdem algebraische Flächen und ihre höher dimensionalen Analoga viele Objekte, Zustände und Vorgänge unseres täglichen Lebens beschreiben, ist ihr Verständnis für Anwendungen wichtig. Beispiele: Roboterarme werden übermässig belastet, wenn sie in ihrer Bewegung durch eine Singularität des Konfigurationsraums laufen und dabei, wenn auch nicht sichtbar, ruckartigen inneren Spannungen ausgesetzt werden. Oder: Die Reflektionsstrahlen eines Parabolspiegels bündeln sich in einer Schar von Brennlinien, die eine algebraische Fläche mit Singularität bilden. Im singulären Punkt der Fläche konzentrieren sich so viele Strahlen, dass es dort zu extremen Temperaturen mit entsprechender Überhitzung des Materials kommen kann. > Neben der trockenen Theorie verdeutlichen die Bilder des Kalenders einen wichtigen Aspekt der Mathematik: Sie sind natürlich schön und schlicht. Wenn wir wollen, können wir in ihnen im Sonnenlicht schimmernde Schneelandschaften, einsame Sanddünen oder wehende Seidentücher einer fremden Kultur sehen. Sie laden ein zum Träumen. Und dazu muss man nichts von Mathematik verstehen.

Weitere Informationen sowie diverse Reproduktionen von Singularitäten (Bilder, Poster, Buch, Video-Clip, ...) sind erhältlich bei:

Herwig Hauser Institut für Mathematik Universität Innsbruck (0512) 507 6085 Herwig.Hauser@uibk.ac.at http://www.hh.hauser.cc